Задание 8. Решите уравнение [x] · {x} = 11x, где [x] — целая часть числа x (то есть наибольшее целое число, не превосходящее x), а {x} = x − [x] — дробная часть числа x. Укажите все подходящие корни.

Пусть n = [x], а f = {x}. Тогда x = n + f, где n — целое число и 0 ≤ f < 1. Уравнение становится nf = 11(n + f), то есть f(n − 11) = 11n.

Если n = 0, получается f = 0, поэтому x = 0. Если n < 0, то f = 11n/(n − 11); условию 0 ≤ f < 1 отвечает только n = −1. Тогда f = 11/12 и x = −1 + 11/12 = −1/12. При n > 0 дробь не удовлетворяет одновременно равенству и ограничению 0 ≤ f < 1.

Ответ: −1/12 и 0.