Задание 8. Вычислите определенный интеграл \(\int\)_{0}^{3} (6x^2 + 4x - 3)dx.

Решение:

Для вычисления определенного интеграла сначала найдем первообразную функции f(x) = 6x² + 4x - 3.

Первообразная F(x) находится по правилу: \[ \int ax^n dx = a \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]

Применяем это правило к каждому члену:

• \[ \int 6x^2 dx = 6 \frac{x^{2+1}}{2+1} = 6 \frac{x^3}{3} = 2x^3 \]
• \[ \int 4x dx = 4 \frac{x^{1+1}}{1+1} = 4 \frac{x^2}{2} = 2x^2 \]
• \[ \int -3 dx = -3x \]

Таким образом, первообразная F(x) = 2x³ + 2x² - 3x.

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: \[ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \]

У нас a = 0 и b = 3.

Вычислим F(3):

\[ F(3) = 2(3)^3 + 2(3)^2 - 3(3) = 2(27) + 2(9) - 9 = 54 + 18 - 9 = 63 \]

Вычислим F(0):

\[ F(0) = 2(0)^3 + 2(0)^2 - 3(0) = 0 + 0 - 0 = 0 \]

Теперь вычитаем: \[ F(3) - F(0) = 63 - 0 = 63 \]

Ответ: 63