Задание 9. Решите уравнение log2(-5x+3)= -1.

Решение:

Для решения логарифмического уравнения log₂(−5x + 3) = −1, нужно вспомнить определение логарифма. Логарифм log_b(a) = c означает, что b^c = a.

В нашем случае основание логарифма b = 2, результат логарифма c = −1, а аргумент логарифма a = −5x + 3.

Перепишем уравнение в показательной форме:

\[ 2^{-1} = -5x + 3 \]

Теперь решим это простое линейное уравнение:

1. Вычислим 2⁻¹:

\[ 2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2} \]

2. Подставим значение в уравнение:

\[ \frac{1}{2} = -5x + 3 \]

3. Вычтем 3 из обеих частей уравнения:

\[ \frac{1}{2} - 3 = -5x \]

Чтобы вычесть, приведем 3 к виду дроби со знаменателем 2: 3 = 6/2.

\[ \frac{1}{2} - \frac{6}{2} = -5x \]

\[ -\frac{5}{2} = -5x \]

4. Разделим обе части на -5:

\[ x = \frac{-5/2}{-5} \]

\[ x = \frac{-5}{2} \times \frac{1}{-5} \]

\[ x = \frac{1}{2} \]

Важно проверить условие существования логарифма: аргумент логарифма должен быть положительным.

\[ -5x + 3 > 0 \]

Подставим найденное значение x = 1/2:

\[ -5(\frac{1}{2}) + 3 = -\frac{5}{2} + 3 = -2.5 + 3 = 0.5 \]

Так как 0.5 > 0, то решение подходит.

Ответ: x = 1/2