Задание 9. Две прямые пересекаются в точке M. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку M и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости.

Пусть данные пересекающиеся прямые — \(a\) и \(b\), а их точка пересечения — \(M\). По теореме о двух пересекающихся прямых существует единственная плоскость \(\alpha\), содержащая прямые \(a\) и \(b\).

Рассмотрим любую прямую \(c\), которая не проходит через точку \(M\) и пересекает прямые \(a\) и \(b\) в точках \(A\) и \(B\) соответственно. Так как \(A\in\alpha\) и \(B\in\alpha\), а через две точки плоскости проходит прямая, то \(c=AB\subset\alpha\).

Следовательно, любая прямая, не проходящая через \(M\) и пересекающая обе данные прямые, лежит в одной плоскости \(\alpha\).

Что и требовалось доказать.