Задание 9. Прямые k и p пересекаются, а прямые p и l — скрещивающиеся. Могут ли прямые k и l быть: а) параллельными, б) пересекающимися, в) скрещивающимися? Обоснуйте свой ответ (если это возможно — приведите пример таких прямых, если нет — докажите почему). Для примеров возьмите прямые, являющиеся рёбрами куба.

Все три случая возможны.

1. Параллельными — да. Возьмём куб с вершинами (0,0,0), (1,0,0), …, (1,1,1). Пусть p — ребро от (0,0,0) до (1,0,0), l — ребро от (0,1,0) до (1,1,0), а k — ребро от (0,0,0) до (0,0,1). Тогда k и p пересекаются, p и l скрещиваются, а k ∥ l.
2. Пересекающимися — да. Пусть p — ребро от (0,0,0) до (1,0,0), k — ребро от (0,0,0) до (0,1,0), l — ребро от (1,0,0) до (1,0,1). Тогда k пересекает p, p и l скрещиваются, а k и l пересекаются.
3. Скрещивающимися — да. Пусть p — ребро от (0,0,0) до (1,0,0), k — ребро от (0,0,0) до (0,1,0), l — ребро от (1,0,0) до (1,1,0) не подойдёт: эти прямые лежат в одной плоскости. Возьмём вместо этого l — ребро от (1,0,0) до (1,0,1). Тогда k и l пересекаются, поэтому этот выбор не подходит. Используем p — ребро от (0,0,0) до (1,0,0), k — ребро от (0,0,0) до (0,1,0), l — ребро от (1,1,0) до (1,1,1): p и l скрещиваются, k и p пересекаются, а k и l скрещиваются.

Ответ: а) да; б) да; в) да.