Завдання 4 (3 б) Обчисліть MB, якщо AB = 3 см, A₁B₁ = 4 см, MB₁ = 8 см.

Розв'язання:

Розглянемо трикутник \( MBB_1 \). Ми знаємо \( MB_1 = 8 \) см. Нам потрібно знайти \( MB \).

Також, ми знаємо, що \( AB = 3 \) см і \( A_1B_1 = 4 \) см. Оскільки \( AB \parallel A_1B_1 \) і \( AA_1 \parallel BB_1 \), то \( ABB_1A_1 \) є паралелограмом (а в даному випадку, оскільки це куб, то прямокутником).

У прямокутнику \( ABB_1A_1 \) протилежні сторони рівні: \( AB = A_1B_1 \) та \( AA_1 = BB_1 \). Однак, за умовою \( AB = 3 \) см, а \( A_1B_1 = 4 \) см. Це суперечить властивостям куба, де \( AB \) повинна дорівнювати \( A_1B_1 \). Це вказує на те, що зображення може не відповідати точно умові, або це не є кубом, а паралелепіпедом. Припустимо, що \( ABB_1A_1 \) є прямокутником, тоді \( BB_1 = AA_1 \).

Розглянемо трикутники \( \triangle MAB \) і \( \triangle MB_1A_1 \). Якщо припустити, що \( M, A, A_1 \) лежать на одній прямій \( a \), а \( M, B, B_1 \) лежать на одній прямій \( b \), і \( AB \parallel A_1B_1 \), то за теоремою Фалеса (або подібності трикутників) з \( \triangle MAB \) і \( \triangle MA_1B_1 \) (якщо \( A \) лежить між \( M \) і \( A_1 \), а \( B \) між \( M \) і \( B_1 \) ), то \( \frac{MA}{MA_1} = \frac{MB}{MB_1} = \frac{AB}{A_1B_1} \).

Але у нас є \( MB_1 = 8 \) см, \( AB = 3 \) см, \( A_1B_1 = 4 \) см. Тоді \( \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{3}{4} \).

Звідси \( \frac{MB}{MB_1} = \frac{3}{4} \) \(\implies\) \( MB = \frac{3}{4} MB_1 = \frac{3}{4} \times 8 = 6 \) см.

Однак, на зображенні пряма \( a \) проходить через \( A \) і \( A_1 \), а пряма \( b \) проходить через \( B \) і \( B_1 \). Також, \( M \) є вершиною, з якої виходять ці прямі. Прямі \( a \) і \( b \) перетинаються в точці \( M \). Оскільки \( AB \parallel A_1B_1 \), то \( \triangle MAB \sim \triangle MA_1B_1 \).

Співвідношення подібності:

\( \frac{MA}{MA_1} = \frac{MB}{MB_1} = \frac{AB}{A_1B_1} \)

Нам дано \( AB = 3 \) см, \( A_1B_1 = 4 \) см, \( MB_1 = 8 \) см. Нам потрібно знайти \( MB \).

З відношення подібності:

\( \frac{MB}{MB_1} = \frac{AB}{A_1B_1} \)

\( \frac{MB}{8} = \frac{3}{4} \)

\( MB = \frac{3}{4} \times 8 \)

\( MB = 3 \times 2 \)

\( MB = 6 \) см.

Відповідь: 6 см.