3. Значение энергии электрона в атоме водорода задаётся формулой Еп = 13,6 эВ n2 , где n = 1, 2, 3, .... При переходе атома из состояния Е₂ в состо- яние Е, атом испускает фотон. Попав на поверхность фотокатода, фотон вы- бивает фотоэлектрон. Длина волны света, соответствующая красной границе фотоэффекта для материала поверхности фотокатода, Акр = 300 нм. Чему равна максимальная возможная скорость фотоэлектрона?

Краткое пояснение:

Решение:

Энергия электрона на n-ом уровне:

\[ E_n = -\frac{13.6 \text{ эВ}}{n^2} \]

Энергия второго уровня (n=2):

\[ E_2 = -\frac{13.6 \text{ эВ}}{2^2} = -3.4 \text{ эВ} \]

Энергия первого уровня (n=1):

\[ E_1 = -13.6 \text{ эВ} \]

Энергия испущенного фотона:

\[ E_{\text{фотона}} = E_2 - E_1 = -3.4 \text{ эВ} - (-13.6 \text{ эВ}) = 10.2 \text{ эВ} \]

Переведём в Джоули:

\[ E_{\text{фотона}} = 10.2 \cdot 1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} = 1.634 \cdot 10^{-18} \text{ Дж} \]

Длина волны красной границы фотоэффекта:

\[ \lambda_{\text{кр}} = 300 \text{ нм} = 300 \cdot 10^{-9} \text{ м} \]

Работа выхода электрона:

\[ A = \frac{hc}{\lambda_{\text{кр}}} \],

где h - постоянная Планка (\( \approx 6.626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} \)), c - скорость света (\( \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \)).

\[ A = \frac{(6.626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с})(3 \cdot 10^8 \text{ м/с})}{300 \cdot 10^{-9} \text{ м}} = \frac{19.878 \cdot 10^{-26}}{300 \cdot 10^{-9}} \text{ Дж} = 6.626 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \]

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:

\[ E_{\text{фотона}} = A + KE_{\text{max}} \],

где \( KE_{\text{max}} \) - максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона.

Выразим максимальную кинетическую энергию:

\[ KE_{\text{max}} = E_{\text{фотона}} - A = 1.634 \cdot 10^{-18} \text{ Дж} - 6.626 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} = 9.714 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \]

Кинетическая энергия также выражается как:

\[ KE_{\text{max}} = \frac{1}{2} m v_{\text{max}}^2 \],

где m - масса электрона (\( \approx 9.109 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \)), \( v_{\text{max}} \) - максимальная скорость фотоэлектрона.

Выразим максимальную скорость:

\[ v_{\text{max}} = \sqrt{\frac{2KE_{\text{max}}}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 9.714 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}}{9.109 \cdot 10^{-31} \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{1.9428 \cdot 10^{-18}}{9.109 \cdot 10^{-31}}} \text{ м/с} = \sqrt{2.132 \cdot 10^{12}} \text{ м/с} \approx 1.46 \cdot 10^6 \text{ м/с} \]

Ответ: Максимальная возможная скорость фотоэлектрона примерно 1.46 ⋅ 10⁶ м/с.