~9. Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Найдите расстояние между точками касания А и В, если ∠AOB = 60° и МА = 9.

Пошаговое решение:

• Так как MA и MB - касательные к окружности, то ∠MAO = ∠MBO = 90°.
• Треугольники MAO и MBO равны по катету (OA = OB - радиусы) и гипотенузе (MO - общая), следовательно, MA = MB = 9.
• В четырехугольнике AOBM, ∠MAO + ∠MBO + ∠AOB + ∠AMB = 360°.
• 90° + 90° + 60° + ∠AMB = 360°, следовательно, ∠AMB = 120°.
• Рассмотрим треугольник MAO. MA = 9. ∠AOM = ∠AOB/2 = 60/2 = 30°.
• OA = MA / tg ∠AOM = 9 / tg 30° = 9 / (1/√3) = 9√3.
• Рассмотрим треугольник AOB. Он равнобедренный (OA = OB). ∠AOB = 60°, следовательно, треугольник AOB - равносторонний.
• AB = OA = OB = 9√3.

Ответ: 9√3