[Задание 16.3] Диагональ АС ромба ABCD равна 16, a tg BCA = 0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Пошаговое решение:

• В ромбе диагонали перпендикулярны и делят углы пополам.
• Пусть сторона ромба равна a. Тангенс угла BCA равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то есть \( tg BCA = \frac{AB}{BC} = 0.75 = \frac{3}{4} \).
• Так как AC = 16, то половина диагонали (OC) равна 8.
• В прямоугольном треугольнике BCO: \( tg BCA = \frac{BO}{OC} \), \( \frac{BO}{8} = \frac{3}{4} \), \( BO = 6 \).
• Тогда BD = 2 \( \cdot \) BO = 12.
• Сторону ромба можно найти по теореме Пифагора из треугольника BCO: \( BC = \sqrt{OC^2 + BO^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \).
• Площадь ромба равна половине произведения диагоналей: \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 96 \).
• Также площадь ромба равна произведению стороны на высоту (а высота равна двум радиусам вписанной окружности): \( S = a \cdot 2r \), \( 96 = 10 \cdot 2r \), \( r = \frac{96}{20} = 4.8 \).

Ответ: 4.8