6) \frac{4}{9b^2 - 1} - \frac{4}{3b + 1} - \frac{b}{1 - 3b} = 0;

Преобразуем уравнение:

$$\frac{4}{9b^2 - 1} - \frac{4}{3b + 1} - \frac{b}{1 - 3b} = 0$$

Заметим, что $$9b^2 - 1 = (3b - 1)(3b + 1)$$. Также, $$1 - 3b = -(3b - 1)$$.

Тогда уравнение можно переписать:

$$\frac{4}{(3b - 1)(3b + 1)} - \frac{4}{3b + 1} + \frac{b}{3b - 1} = 0$$

Общий знаменатель: $$(3b - 1)(3b + 1)$$.

Умножим каждую дробь на соответствующий множитель, чтобы получить общий знаменатель:

$$\frac{4}{(3b - 1)(3b + 1)} - \frac{4(3b - 1)}{(3b + 1)(3b - 1)} + \frac{b(3b + 1)}{(3b - 1)(3b + 1)} = 0$$

$$\frac{4 - 4(3b - 1) + b(3b + 1)}{(3b - 1)(3b + 1)} = 0$$

$$\frac{4 - 12b + 4 + 3b^2 + b}{(3b - 1)(3b + 1)} = 0$$

$$\frac{3b^2 - 11b + 8}{(3b - 1)(3b + 1)} = 0$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

3b^2 - 11b + 8 = 0

Решим квадратное уравнение:

D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 121 - 96 = 25

b_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{11 + 5}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}

b_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{11 - 5}{6} = \frac{6}{6} = 1

Проверим, не обращается ли знаменатель в нуль при этих значениях:

При b = 8/3: $$(3b - 1)(3b + 1) = (3 \cdot \frac{8}{3} - 1)(3 \cdot \frac{8}{3} + 1) = (8 - 1)(8 + 1) = 7 \cdot 9 = 63
eq 0$$. Знаменатель не обращается в нуль, поэтому b = 8/3 является решением.

При b = 1: $$(3b - 1)(3b + 1) = (3 \cdot 1 - 1)(3 \cdot 1 + 1) = (3 - 1)(3 + 1) = 2 \cdot 4 = 8
eq 0$$. Знаменатель не обращается в нуль, поэтому b = 1 является решением.

Ответ: b = 1, b = 8/3