5) \frac{8}{y^2 - 4} - \frac{5}{y + 2} = \frac{y}{y - 2};

Преобразуем уравнение:

$$\frac{8}{y^2 - 4} - \frac{5}{y + 2} = \frac{y}{y - 2}$$

Заметим, что $$y^2 - 4 = (y - 2)(y + 2)$$. Общий знаменатель: $$(y - 2)(y + 2)$$.

Умножим каждую дробь на соответствующий множитель, чтобы получить общий знаменатель:

$$\frac{8}{(y - 2)(y + 2)} - \frac{5(y - 2)}{(y + 2)(y - 2)} = \frac{y(y + 2)}{(y - 2)(y + 2)}$$

$$\frac{8 - 5(y - 2) - y(y + 2)}{(y - 2)(y + 2)} = 0$$

$$\frac{8 - 5y + 10 - y^2 - 2y}{(y - 2)(y + 2)} = 0$$

$$\frac{-y^2 - 7y + 18}{(y - 2)(y + 2)} = 0$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

-y^2 - 7y + 18 = 0

y^2 + 7y - 18 = 0

Решим квадратное уравнение:

D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121

y_1 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 11}{2} = \frac{4}{2} = 2

y_2 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 11}{2} = \frac{-18}{2} = -9

Проверим, не обращается ли знаменатель в нуль при этих значениях:

При y = 2: $$(y - 2)(y + 2) = (2 - 2)(2 + 2) = 0$$. Знаменатель обращается в нуль, поэтому y = 2 не является решением.

При y = -9: $$(y - 2)(y + 2) = (-9 - 2)(-9 + 2) = (-11)(-7) = 77
eq 0$$. Знаменатель не обращается в нуль, поэтому y = -9 является решением.

Ответ: y = -9