8) \frac{c + 56}{9c^2 - 16} + \frac{1}{8 - 6c} = \frac{18}{3c^2 + 4c};

Преобразуем уравнение:

$$\frac{c + 56}{9c^2 - 16} + \frac{1}{8 - 6c} = \frac{18}{3c^2 + 4c}$$

Заметим, что $$9c^2 - 16 = (3c - 4)(3c + 4)$$. Также, $$8 - 6c = -2(3c - 4)$$ и $$3c^2 + 4c = c(3c + 4)$$.

Тогда уравнение можно переписать:

$$\frac{c + 56}{(3c - 4)(3c + 4)} - \frac{1}{2(3c - 4)} = \frac{18}{c(3c + 4)}$$

Общий знаменатель: $$2c(3c - 4)(3c + 4)$$.

Умножим каждую дробь на соответствующий множитель, чтобы получить общий знаменатель:

$$\frac{(c + 56) \cdot 2c}{2c(3c - 4)(3c + 4)} - \frac{1 \cdot c(3c + 4)}{2c(3c - 4)(3c + 4)} = \frac{18 \cdot 2(3c - 4)}{2c(3c + 4)(3c - 4)}$$

$$\frac{2c(c + 56) - c(3c + 4) - 36(3c - 4)}{2c(3c - 4)(3c + 4)} = 0$$

$$\frac{2c^2 + 112c - 3c^2 - 4c - 108c + 144}{2c(3c - 4)(3c + 4)} = 0$$

$$\frac{-c^2 - 144}{2c(3c - 4)(3c + 4)} = 0$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

-c^2 + 0c + 144 = 0

-c^2 = -144

c^2 = 144

c_1 = \sqrt{144} = 12

c_2 = -\sqrt{144} = -12

Проверим, не обращается ли знаменатель в нуль при этих значениях:

При c = 12: $$2c(3c - 4)(3c + 4) = 2 \cdot 12 \cdot (3 \cdot 12 - 4)(3 \cdot 12 + 4) = 24 \cdot (36 - 4)(36 + 4) = 24 \cdot 32 \cdot 40
eq 0$$. Знаменатель не обращается в нуль, поэтому c = 12 является решением.

При c = -12: $$2c(3c - 4)(3c + 4) = 2 \cdot (-12) \cdot (3 \cdot (-12) - 4)(3 \cdot (-12) + 4) = -24 \cdot (-36 - 4)(-36 + 4) = -24 \cdot (-40)(-32)
eq 0$$. Знаменатель не обращается в нуль, поэтому c = -12 является решением.

Ответ: c = 12, c = -12