6) \frac{2x-7}{x-4}-\frac{x+2}{x+1}=\frac{x+6}{(x-4)(x+1)};

6) Решим уравнение:$$\frac{2x-7}{x-4}-\frac{x+2}{x+1}=\frac{x+6}{(x-4)(x+1)}.$$Область допустимых значений: $$x
eq 4$$ и $$x
eq -1$$.Приведем все дроби к общему знаменателю $$(x-4)(x+1)$$.$$\frac{(2x-7)(x+1)}{(x-4)(x+1)}-\frac{(x+2)(x-4)}{(x-4)(x+1)}=\frac{x+6}{(x-4)(x+1)}.$$Умножим обе части уравнения на $$(x-4)(x+1)$$, получим:$$(2x-7)(x+1) - (x+2)(x-4) = x+6.$$Раскроем скобки:$$2x^2 + 2x - 7x - 7 - (x^2 - 4x + 2x - 8) = x+6.$$Упростим:$$2x^2 - 5x - 7 - (x^2 - 2x - 8) = x+6.$$Снова раскроем скобки:$$2x^2 - 5x - 7 - x^2 + 2x + 8 = x+6.$$Приведем подобные члены:$$x^2 - 3x + 1 = x+6.$$Перенесем члены с $$x$$ в левую часть, а числа - в правую:$$x^2 - 3x - x = 6 - 1.$$Упростим:$$x^2 - 4x - 5 = 0.$$Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:$$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36.$$Тогда корни:$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) + \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5,$$$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-4) - \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1.$$Так как $$x_2 = -1$$ противоречит ОДЗ, это не корень уравнения. Остается только корень $$x_1 = 5$$.

Ответ: 5