11. 3 · 4ˣ + 2 · 9ˣ - 5 · 6ˣ < 0

Решение:

Исходное неравенство: $$3 \cdot 4^x + 2 \cdot 9^x - 5 \cdot 6^x < 0$$.

Разделим обе части неравенства на $$4^x$$, получим: $$3 + 2 \cdot \left(\frac{9}{4}\right)^x - 5 \cdot \left(\frac{6}{4}\right)^x < 0$$.

Преобразуем: $$3 + 2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{2x} - 5 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x < 0$$.

Пусть $$t = \left(\frac{3}{2}\right)^x$$, тогда неравенство принимает вид: $$2t^2 - 5t + 3 < 0$$.

Решим квадратное неравенство относительно $$t$$. Найдем корни квадратного уравнения $$2t^2 - 5t + 3 = 0$$.

Дискриминант: $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$$.

Корни: $$t_1 = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$$, $$t_2 = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$.

Неравенство $$2t^2 - 5t + 3 < 0$$ выполняется при $$1 < t < \frac{3}{2}$$.

Вернемся к переменной $$x$$. Имеем: $$1 < \left(\frac{3}{2}\right)^x < \frac{3}{2}$$.

Тогда: $$\left(\frac{3}{2}\right)^0 < \left(\frac{3}{2}\right)^x < \left(\frac{3}{2}\right)^1$$.

Поскольку основание степени больше 1, то: $$0 < x < 1$$.

Ответ: $$0 < x < 1$$