15. (0,2)√ˣ²⁻³ˣ⁺³ > (0,2) √ˣ

Решение:

$$\left(0.2\right)^{\sqrt{x^2-3x+3}} > \left(0.2\right)^{\sqrt{x}}$$

Так как основание $$0 < 0.2 < 1$$, функция убывает, поэтому:

$$\sqrt{x^2 - 3x + 3} < \sqrt{x}$$

ОДЗ: $$x^2 - 3x + 3 \ge 0$$ и $$x \ge 0$$.

Так как $$x^2 - 3x + 3 = x^2 - 3x + \frac{9}{4} + \frac{3}{4} = \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0$$ для всех $$x$$, первое неравенство выполняется всегда.

Тогда достаточно условия $$x \ge 0$$.

Возведем обе части неравенства в квадрат (обе части неотрицательны):

$$x^2 - 3x + 3 < x$$

$$x^2 - 4x + 3 < 0$$

Найдем корни уравнения $$x^2 - 4x + 3 = 0$$:

$$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$$

$$x_1 = \frac{4 - 2}{2} = 1$$

$$x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$$

Решением неравенства является $$1 < x < 3$$.

Учитывая ОДЗ $$x \ge 0$$, получаем $$1 < x < 3$$.

Ответ: $$1 < x < 3$$