17. 3⁷² · (1/3)ˣ · (1/3)√ˣ > 1

Решение:

$$3^{72} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt{x}} > 1$$

$$3^{72} \cdot 3^{-x} \cdot 3^{-\sqrt{x}} > 1$$

$$3^{72 - x - \sqrt{x}} > 3^0$$

Так как основание $$3 > 1$$, функция возрастает, поэтому:

$$72 - x - \sqrt{x} > 0$$

$$x + \sqrt{x} < 72$$

Пусть $$t = \sqrt{x}$$, тогда $$t^2 + t - 72 < 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$t^2 + t - 72 = 0$$:

$$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289 = 17^2$$

$$t_1 = \frac{-1 - 17}{2} = -9$$

$$t_2 = \frac{-1 + 17}{2} = 8$$

Решением неравенства является $$-9 < t < 8$$.

Так как $$t = \sqrt{x} \ge 0$$, то $$0 \le t < 8$$.

Следовательно, $$0 \le \sqrt{x} < 8$$

$$0 \le x < 64$$

Ответ: $$0 \le x < 64$$