7. 3ˣ * 3ˣ + 3¹⁻ˣ - 4 < 0

Преобразуем неравенство:

$$3^x \cdot 3^x + 3^{1-x} - 4 < 0$$ $$(3^x)^2 + \frac{3}{3^x} - 4 < 0$$

Обозначим 3ˣ = t, тогда t > 0.

$$t^2 + \frac{3}{t} - 4 < 0$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{t^3 - 4t + 3}{t} < 0$$

Разложим числитель на множители. Заметим, что t = 1 является корнем числителя, так как 1³ - 4*1 + 3 = 0.

Разделим многочлен t³ - 4t + 3 на (t - 1) столбиком или методом подбора:

$$t^3 - 4t + 3 = (t - 1)(t^2 + t - 3)$$

Неравенство примет вид:

$$\frac{(t - 1)(t^2 + t - 3)}{t} < 0$$

Решим квадратное уравнение t² + t - 3 = 0

$$D = 1^2 - 4(1)(-3) = 1 + 12 = 13$$ $$t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$$

t₁ = (-1 - √13)/2 ≈ -2.30, t₂ = (-1 + √13)/2 ≈ 1.30

Имеем корни t₁ ≈ -2.30, t₂ ≈ 1.30, t₃ = 1, t₄ = 0.

Неравенство:

$$\frac{(t - 1)(t - \frac{-1 - \sqrt{13}}{2})(t - \frac{-1 + \sqrt{13}}{2})}{t} < 0$$

Поскольку t = 3ˣ > 0, то t > 0.

Поэтому нужно найти решения на интервале t > 0:

$$\frac{(t - 1)(t - \frac{-1 + \sqrt{13}}{2})}{t} < 0$$

Метод интервалов (учитываем, что t > 0):

0 < t < 1:

$$\frac{(-)(-)}{(+)} < 0$$ - нет

1 < t < 1.30:

$$\frac{(+)(-)}{(+)} < 0$$ - да

Тогда решение: 1 < t < 1.30

Вернёмся к замене 3ˣ = t:

$$1 < 3^x < \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}$$ $$3^0 < 3^x < \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}$$

Прологарифмируем по основанию 3:

$$0 < x < \log_3 \left(\frac{-1 + \sqrt{13}}{2}\right)$$

Ответ: $$x \in \left(0; \log_3 \left(\frac{-1 + \sqrt{13}}{2}\right)\right)$$.