13 ΔABC – равносторонний Найдите: BD⋅BC

Рассмотрим равносторонний треугольник ABC. BD - высота, проведенная к стороне AC. В равностороннем треугольнике высота также является медианой, поэтому AD = DC.

Пусть сторона треугольника равна a, то есть AB = BC = AC = a. Так как высота BD делит сторону AC пополам, то AD = DC = a/2. Из условия задачи видно, что высота BD равна 3.

Нам нужно найти скалярное произведение векторов BD и BC, которое равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

$$ \vec{BD} \cdot \vec{BC} = |BD| \cdot |BC| \cdot cos(\angle DBC) $$

Угол ∠DBC равен половине угла ∠ABC, так как BD является биссектрисой угла B. Поскольку треугольник ABC равносторонний, то ∠ABC = 60°, следовательно, ∠DBC = 30°.

Длина BD = 3. Длину BC найдем из прямоугольного треугольника BDC: $$sin(\angle BCD) = \frac{BD}{BC}$$, где $$sin(\angle BCD) = sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Тогда $$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{BC}$$, откуда $$BC = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$$

Теперь вычислим скалярное произведение: $$ \vec{BD} \cdot \vec{BC} = 3 \cdot 2\sqrt{3} \cdot cos(30°) = 3 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \cdot 2 \cdot \frac{3}{2} = 9 $$

Ответ: 9