№7 23π 23π Найдите значение выражения 4/3 cos² 4√3 sin² 12 12

Найдем значение выражения: $$4 \sqrt{3} \cos^2 \frac{23\pi}{12} - 4 \sqrt{3} \sin^2 \frac{23\pi}{12}$$.

Вынесем общий множитель за скобки: $$4 \sqrt{3} (\cos^2 \frac{23\pi}{12} - \sin^2 \frac{23\pi}{12})$$.

В скобках выражение представляет собой косинус двойного угла: $$4 \sqrt{3} \cos (2 \cdot \frac{23\pi}{12}) = 4 \sqrt{3} \cos \frac{23\pi}{6}$$.

$$4 \sqrt{3} \cos \frac{23\pi}{6} = 4 \sqrt{3} \cos (4\pi - \frac{\pi}{6}) = 4 \sqrt{3} \cos (-\frac{\pi}{6}) = 4 \sqrt{3} \cos \frac{\pi}{6}$$.

$$4 \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6$$.

Ответ: 6