7) √1 − x = x + 1

7) $$\sqrt{1-x} = x+1$$

1. Возведём обе части уравнения в квадрат:

$$(\sqrt{1-x})^2 = (x+1)^2$$

$$1-x = x^2+2x+1$$

2. Перенесём все члены уравнения в правую часть, при переносе меняем знак на противоположный:

$$x^2+2x+1-1+x = 0$$

$$x^2+3x = 0$$

3. Вынесем x за скобки:

$$x(x+3) = 0$$

4. Приравняем каждый множитель к нулю:

$$x = 0$$ или $$x+3 = 0$$

$$x = 0$$ или $$x = -3$$

5. Проверка:

а) x = 0

$$\sqrt{1-0} = 0+1$$

$$\sqrt{1} = 1$$

$$1 = 1$$ - верно, значит корень уравнения найден правильно.

б) x = -3

$$\sqrt{1-(-3)} = -3+1$$

$$\sqrt{4} = -2$$

$$2 = -2$$ - не верно, значит x = -3 не является корнем уравнения.

Ответ: x = 0