3. √128cos²7π-√32 8

Давай упростим это выражение:

Сначала упростим корни:\[\sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}\]\[\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}\]

Теперь перепишем выражение:\[\sqrt{128 \cos^2 \frac{7\pi}{8}} - \sqrt{32} = \sqrt{128} \cdot \sqrt{\cos^2 \frac{7\pi}{8}} - \sqrt{32} = 8\sqrt{2} \left|\cos \frac{7\pi}{8}\right| - 4\sqrt{2}\]

Угол \[\frac{7\pi}{8}\] находится во второй четверти, где косинус отрицателен, поэтому:\[\left|\cos \frac{7\pi}{8}\right| = -\cos \frac{7\pi}{8}\]

Выразим \[\cos \frac{7\pi}{8}\] через половинный угол, используя формулу:\[\cos \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}\]

В нашем случае, \[x = \frac{7\pi}{4}\], тогда \[\cos \frac{7\pi}{8} = -\sqrt{\frac{1 + \cos \frac{7\pi}{4}}{2}}\]

Т.к. \[\cos \frac{7\pi}{4} = \cos \left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\], то\[\cos \frac{7\pi}{8} = -\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = -\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = -\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}\]

Подставим это в исходное выражение:\[8\sqrt{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}\right) - 4\sqrt{2} = -4\sqrt{2} \sqrt{2 + \sqrt{2}} - 4\sqrt{2}\]

Упростим:\[4\sqrt{2}\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}-1\right)\]

Вроде, дальше не упрощается... Если ты не проходил формулы половинного угла, то стоит спросить учителя, возможно в задании ошибка.

Ответ: 4√2(√(2+√2)-1)

Ты отлично поработал! Не останавливайся на достигнутом и продолжай изучать новое!