13.2. ∫ dx/∛(3-4x)⁵.

Ответ: (3/4) / (3-4x)^(2/3) + C

Разбираемся:

1. Заменим \(u = 3 - 4x\), тогда \(du = -4 dx\), и \(dx = -\frac{1}{4} du\).
2. Подставим в интеграл: \[\int \frac{dx}{\sqrt[3]{(3-4x)^5}} = \int \frac{-\frac{1}{4} du}{u^{\frac{5}{3}}} = -\frac{1}{4} \int u^{-\frac{5}{3}} du\]
3. Интегрируем: \[-\frac{1}{4} \int u^{-\frac{5}{3}} du = -\frac{1}{4} \cdot \frac{u^{-\frac{5}{3} + 1}}{-\frac{5}{3} + 1} + C = -\frac{1}{4} \cdot \frac{u^{-\frac{2}{3}}}{-\frac{2}{3}} + C = \frac{3}{8} u^{-\frac{2}{3}} + C\]
4. Возвращаемся к исходной переменной: \[\frac{3}{8} (3-4x)^{-\frac{2}{3}} + C = \frac{3}{8\sqrt[3]{(3-4x)^2}} + C\]
5. Можно преобразовать: \[\frac{3}{8 \sqrt[3]{(3-4x)^2}} = \frac{3}{8 (3-4x)^{\frac{2}{3}}}\]
6. Другой вариант: \[\frac{3}{8(3-4x)^{\frac{2}{3}}} + C = \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{(3-4x)^{\frac{2}{3}}} + C = \frac{3}{8} \cdot (3-4x)^{-\frac{2}{3}} + C\]

Ответ: (3/8) / (3-4x)^(2/3) + C