⑤ В треугольнике две стороны равны 7 и 5, угол между этими сторонами 600. Найдите третью сторону и площадь этого треугольника.

Пусть треугольник будет ABC, где AB = 7, AC = 5, и угол между этими сторонами ∠A = 60°.

Для нахождения третьей стороны BC используем теорему косинусов:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos{∠A}$$

Подставим значения:

$$BC^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos{60^\circ}$$ $$BC^2 = 49 + 25 - 70 \cdot \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39$$ $$BC = \sqrt{39}$$

Для нахождения площади треугольника можно использовать формулу:

$$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin{∠A}$$

Подставим значения:

$$S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5 \cdot \sin{60^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 35 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{35\sqrt{3}}{4}$$

Ответ: \(BC = \sqrt{39}\), \(S = \frac{35\sqrt{3}}{4}\)