⑥ В ∆ABC: A(0;2) B(3;7) C(-1;5). Найдите cos LA, cos∠B, cos ∠C.

Чтобы найти косинусы углов треугольника, сначала найдем длины сторон треугольника:

Длина стороны AB:

$$AB = \sqrt{(3-0)^2 + (7-2)^2} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$$

Длина стороны BC:

$$BC = \sqrt{(-1-3)^2 + (5-7)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$$

Длина стороны AC:

$$AC = \sqrt{(-1-0)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$$

Теперь найдем косинусы углов, используя теорему косинусов:

Косинус угла A:

$$cos∠A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{34 + 10 - 20}{2 \cdot \sqrt{34} \cdot \sqrt{10}} = \frac{24}{2 \cdot \sqrt{340}} = \frac{12}{\sqrt{340}} = \frac{12}{2\sqrt{85}} = \frac{6}{\sqrt{85}}$$

Косинус угла B:

$$cos∠B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{34 + 20 - 10}{2 \cdot \sqrt{34} \cdot \sqrt{20}} = \frac{44}{2 \cdot \sqrt{680}} = \frac{22}{\sqrt{680}} = \frac{22}{2\sqrt{170}} = \frac{11}{\sqrt{170}}$$

Косинус угла C:

$$cos∠C = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC} = \frac{10 + 20 - 34}{2 \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{20}} = \frac{-4}{2 \cdot \sqrt{200}} = \frac{-2}{\sqrt{200}} = \frac{-2}{10\sqrt{2}} = \frac{-1}{5\sqrt{2}}$$

Ответ: \(cos∠A = \frac{6}{\sqrt{85}}\), \(cos∠B = \frac{11}{\sqrt{170}}\), \(cos∠C = \frac{-1}{5\sqrt{2}}\)