► 5-5. Шесть команд сыграли турнир в один круг (то есть каждая команда сыграла с каждой по одному разу). За победу команда получала 2 очка, за ничью 1 очко, за поражение 0 очков. Все команды набрали разное число очков. Могло ли оказаться, что суммарное количество очков, набранных тремя командами с наибольшими количествами очков, ровно в два раза больше суммарного количества очков, набранных остальными тремя командами?

Ответ: Нет, не могло.

Решение:

1. Определим общее количество игр. Каждая из 6 команд сыграла с 5 другими командами. Общее количество игр равно (6 * 5) / 2 = 15.
2. Определим максимальное количество очков. В каждой игре разыгрывается либо 2 очка (если есть победитель и проигравший), либо 1 очко (если ничья). Максимальное количество очков, которое может быть разыграно во всех играх, равно 2 * 15 = 30 очков.
3. Определим минимальное количество очков у каждой команды. Поскольку все команды набрали разное количество очков, минимальное количество очков у команд может быть от 0 до 5.
4. Обозначим очки команд как a > b > c > d > e > f. Сумма очков всех команд равна a + b + c + d + e + f = 30.
5. По условию, a + b + c = 2 * (d + e + f). Также мы знаем, что a + b + c + d + e + f = 30.
6. Подставим первое уравнение во второе: 2 * (d + e + f) + d + e + f = 30, откуда 3 * (d + e + f) = 30. Таким образом, d + e + f = 10, и a + b + c = 20.
7. Максимальное значение d + e + f равно 5 + 4 + 3 = 12. Поскольку d + e + f должно быть равно 10, то минимальное значение a + b + c должно быть равно 20. Это возможно, если a = 7, b = 6, c = 5.
8. Таким образом, можно составить пример, когда a = 7, b = 6, c = 5, d = 4, e = 3, f = 2. В этом случае, a + b + c = 18, а d + e + f = 9, и условие a + b + c = 2 * (d + e + f) не выполняется.

Ответ: Нет, не могло.