► 5-3. В каждой клетке доски 8 х 8 написано натуральное число (то есть какое-то из чисел 1, 2, 3, ...). Числа могут быть одинаковыми. Оказалось, что в любых двух квадратах 2 х 2 суммы чисел различны. Докажите, что одно из чисел на доске больше 12.

Ответ: Доказательство приведено в решении.

Доказательство:

Предположим, что все числа на доске не больше 12. Рассмотрим все возможные квадраты 2x2 на доске 8x8. Сумма чисел в каждом таком квадрате является натуральным числом. Поскольку каждое число в квадрате не больше 12, максимальная сумма в квадрате 2x2 равна 4 * 12 = 48. Минимальная сумма равна 4 * 1 = 4.

Таким образом, каждая сумма квадрата 2x2 лежит в диапазоне от 4 до 48. Количество возможных различных сумм равно 48 - 4 + 1 = 45.

Теперь посчитаем, сколько всего существует квадратов 2x2 на доске 8x8. Вдоль каждой стороны доски можно разместить 8 - 2 + 1 = 7 квадратов 2x2. Следовательно, общее количество квадратов 2x2 равно 7 * 7 = 49.

Мы получили, что существует 49 квадратов, но только 45 различных возможных сумм. Значит, по принципу Дирихле, хотя бы в двух квадратах суммы должны быть одинаковыми, что противоречит условию задачи.

Следовательно, наше предположение о том, что все числа на доске не больше 12, неверно. Поэтому, хотя бы одно число на доске должно быть больше 12.

Ответ: Доказательство приведено в решении.