20. ★★☆ В пятиугольнике ABCDE сто- роны АВ и CD параллельны, а его углы при вершинах А и Е равны 120° и 130°. Найдите угол при вершине D пятиугольника, если его диагональ BD параллельна стороне АЕ. ( рис.)

Решение:

Обозначим угол при вершине D за α.

Сумма углов выпуклого пятиугольника равна (5-2) * 180° = 3 * 180° = 540°.

Следовательно, ∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = 540°.

Из условия ∠A = 120°, ∠E = 130°.

∠B + ∠C + ∠D = 540° - 120° - 130° = 290°.

Т.к. BD || AE, то углы ∠DBA и ∠EAB являются внутренними односторонними и в сумме равны 180°. ∠DBA + ∠EAB = 180°.

∠EAB = ∠A = 120°, следовательно, ∠DBA = 180° - 120° = 60°.

Т.к. AB || CD, то углы ∠BAC и ∠DCA являются внутренними накрест лежащими и равны. ∠BAC = ∠DCA.

∠ABC = ∠DBA + ∠DBC, ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD

∠B + ∠C = ∠DBA + ∠DBC + ∠BCA + ∠ACD = ∠DBA + ∠DBC + ∠BCA + ∠BAC

∠B + ∠C + ∠D = ∠DBA + ∠DBC + ∠BCA + ∠BAC + ∠D = 290°.

Т.к. ∠DBA = 60°, обозначим ∠DBC = x, ∠BCA = y, ∠BAC = z. α = ∠D.

Тогда 60° + x + y + z + α = 290°.

Рассмотрим четырехугольник ABCD, сумма углов которого равна 360°.

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = z + 60° + x + y + α = 360°.

Тогда z + x + y + α = 360° - 60° = 300°.

60° + z + x + y + α = 290°, z + x + y + α = 230°.

Противоречие.

Невозможно найти угол D.

Ответ: Нет решения.