12. ★☆☆ Модули векторов а и в равны. Найдите угол между векторами, если: a) |ả + 36| = |ả – 26; 000 б) |2ã – 36| = |ả + 26).

Краткое пояснение: Чтобы найти угол между векторами, воспользуемся теоремой косинусов и свойствами скалярного произведения. Так как модули векторов равны, можно упростить выражения.

a)

1. Возведем обе части равенства в квадрат: \[|\vec{a} + 3\vec{b}|^2 = |\vec{a} - 2\vec{b}|^2.\]
2. Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения: \[(\vec{a} + 3\vec{b})^2 = (\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 3\vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9|\vec{b}|^2.\] \[(\vec{a} - 2\vec{b})^2 = (\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2.\]
3. Приравняем выражения: \[|\vec{a}|^2 + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9|\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2.\]
4. Упростим, учитывая, что \(|\vec{a}| = |\vec{b}|\): \[6(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9|\vec{b}|^2 = -4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2.\] \[10(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -5|\vec{b}|^2.\] \[\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{1}{2}|\vec{b}|^2.\]
5. Используем формулу для скалярного произведения: \[|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\varphi) = -\frac{1}{2}|\vec{b}|^2.\] \[|\vec{b}|^2 \cdot \cos(\varphi) = -\frac{1}{2}|\vec{b}|^2.\] \[\cos(\varphi) = -\frac{1}{2}.\]
6. Найдем угол \(\varphi\): \[\varphi = \arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3} = 120^\circ.\]

Ответ: \(\varphi = 120^\circ\)

б)

1. Возведем обе части равенства в квадрат: \[|2\vec{a} - 3\vec{b}|^2 = |\vec{a} + 2\vec{b}|^2.\]
2. Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения: \[(2\vec{a} - 3\vec{b})^2 = 4|\vec{a}|^2 - 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9|\vec{b}|^2.\] \[(\vec{a} + 2\vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2.\]
3. Приравняем выражения: \[4|\vec{a}|^2 - 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9|\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2.\]
4. Упростим, учитывая, что \(|\vec{a}| = |\vec{b}|\): \[4|\vec{b}|^2 - 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9|\vec{b}|^2 = |\vec{b}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2.\] \[16(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 8|\vec{b}|^2.\] \[\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}|\vec{b}|^2.\]
5. Используем формулу для скалярного произведения: \[|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\varphi) = \frac{1}{2}|\vec{b}|^2.\] \[|\vec{b}|^2 \cdot \cos(\varphi) = \frac{1}{2}|\vec{b}|^2.\] \[\cos(\varphi) = \frac{1}{2}.\]
6. Найдем угол \(\varphi\): \[\varphi = \arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3} = 60^\circ.\]

Ответ: \(\varphi = 60^\circ\)