257 ☐ В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120°, AC + AB = 18 см. Найдите АС И АВ.

В прямоугольном треугольнике ABC угол C прямой, то есть ∠C = 90°. Внешний угол при вершине A равен 120°. Внешний угол при вершине равен сумме двух других внутренних углов, не смежных с ним, то есть ∠A(внешний) = ∠B + ∠C.

Угол ∠B = ∠A(внешний) - ∠C = 120° - 90° = 30°.

Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 30° - 90° = 60°.

Пусть AC = x, тогда AB = 18 - x. Используем определение синуса угла в прямоугольном треугольнике:

$$\sin{B} = \frac{AC}{AB}$$ $$\sin{30°} = \frac{x}{18-x}$$

Так как sin 30° = 1/2, то:

$$\frac{1}{2} = \frac{x}{18-x}$$ $$18 - x = 2x$$ $$3x = 18$$ $$x = 6$$

Следовательно, AC = 6 см, AB = 18 - 6 = 12 см.

Ответ: AC = 6 см, AB = 12 см