262 В треугольниках АВС и А,В,С, углы А и А1 прямые, BD и В₁D, — биссектрисы. Докажите, что ДАВС = ДА1В1С1, если ∠B = ∠B₁ и BD = B₁D1.

Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1. У них:

• ∠A = ∠A1 = 90° (по условию);
• ∠B = ∠B1 (по условию);

Тогда ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 90° - ∠B = 90° - ∠B. Аналогично, ∠C1 = 90° - ∠B1.

Так как ∠B = ∠B1, то и ∠C = ∠C1. BD и B1D1 - биссектрисы, поэтому ∠ABD = ∠CBD = ∠B/2, ∠A1B1D1 = ∠C1B1D1 = ∠B1/2.

Рассмотрим треугольники ABD и A1B1D1. У них:

• ∠A = ∠A1 = 90° (по условию);
• BD = B1D1 (по условию);
• ∠ABD = ∠A1B1D1 (так как ∠B = ∠B1).

Следовательно, треугольники ABD и A1B1D1 равны по катету и прилежащему острому углу. Значит, AB = A1B1 как соответственные элементы равных треугольников.

Треугольники ABC и A1B1C1 равны по катету и прилежащему острому углу (AB = A1B1, ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1).

Ответ: Доказано