№ 16. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 2 : 7, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 110 см.

Пусть боковая сторона треугольника равна a, а основание равно b. Точка касания делит боковую сторону в отношении 2:7, считая от вершины, значит, от вершины до точки касания 2x, а от точки касания до основания 7x. Тогда вся боковая сторона a = 2x + 7x = 9x. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, поэтому обе боковые стороны равны 9x. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, от вершины до точки касания на одной боковой стороне равно от вершины до точки касания на другой боковой стороне, т.е. равно 2x. Аналогично, от основания до точки касания на боковой стороне равно от основания до точки касания на основании. Тогда половина основания равна 7x, а всё основание b = 2 * 7x = 14x. Периметр треугольника равен сумме длин всех сторон: P = a + a + b = 9x + 9x + 14x = 32x. По условию P = 110 см, следовательно, 32x = 110, откуда x = 110/32 = 55/16. Тогда боковая сторона a = 9x = 9 * (55/16) = 495/16 = 30.9375 см. Основание b = 14x = 14 * (55/16) = 770/16 = 385/8 = 48.125 см. Ответ: Боковые стороны равны 30.9375 см, основание равно 48.125 см.