№ 1. Длины сторон прямоугольника равны 10 и 24 см. Через точку О пересечения его диагоналей проведена прямая OF, перпендикулярная его плоскости. Найдите расстояние от точки F до вершин прямоугольника, если OF = 13 см.

Дано прямоугольник со сторонами $AB = CD = 10$ см и $BC = AD = 24$ см. $O$ - точка пересечения диагоналей, $OF \perp (ABC)$, $OF = 13$ см. Нужно найти расстояние от $F$ до вершин прямоугольника. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOF$. 1. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому $AO = \frac{1}{2}AC$. 2. По теореме Пифагора для прямоугольника $ABCD$ найдем диагональ $AC$: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26$ см. 3. Следовательно, $AO = \frac{1}{2} \cdot 26 = 13$ см. 4. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AOF$. По теореме Пифагора: $AF = \sqrt{AO^2 + OF^2} = \sqrt{13^2 + 13^2} = \sqrt{169 + 169} = \sqrt{338} = 13\sqrt{2}$ см. Так как диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то расстояние от точки $O$ до каждой вершины одинаковое. Следовательно, расстояние от точки $F$ до каждой вершины будет одинаковым. **Ответ: $13\sqrt{2}$ см.**