№ 5. В треугольнике АВС известно, что ∠B=90°, ∠ACB=60°, отрезок CD- биссектриса треугольника. Найдите катет АВ, если BD=5 см.

Треугольник ABC прямоугольный, \( \angle B = 90° \) и \( \angle ACB = 60° \). Следовательно, \( \angle BAC = 180° - 90° - 60° = 30° \). CD - биссектриса угла \( \angle ACB \), значит, \( \angle ACD = \angle DCB = \frac{60°}{2} = 30° \). Рассмотрим треугольник BDC. В этом треугольнике \( \angle DBC = 90° \), \( \angle DCB = 30° \), и \( BD = 5 \) см. Найдем BC, используя тангенс угла DCB: \( tg(\angle DCB) = \frac{BD}{BC} \) \( tg(30°) = \frac{5}{BC} \) \( BC = \frac{5}{tg(30°)} = \frac{5}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 5\sqrt{3} \) Теперь рассмотрим треугольник ABC. Используем тангенс угла ACB: \( tg(\angle ACB) = \frac{AB}{BC} \) \( tg(60°) = \frac{AB}{5\sqrt{3}} \) \( AB = 5\sqrt{3} \cdot tg(60°) = 5\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 5 \cdot 3 = 15 \) Ответ: АВ = 15 см.