№5. Даны точки A(1; 5), B(-2; 2), C(0; 0), D(3; 3). Докажите, что ABCD - прямоугольник.

Чтобы доказать, что ABCD - прямоугольник, нужно показать, что противоположные стороны параллельны и равны, а также, что соседние стороны перпендикулярны. 1. Проверим параллельность и равенство сторон: Вектор AB = (-2 - 1; 2 - 5) = (-3; -3) Вектор DC = (0 - 3; 0 - 3) = (-3; -3) Векторы AB и DC равны, следовательно, AB || DC и AB = DC. Вектор AD = (3 - 1; 3 - 5) = (2; -2) Вектор BC = (0 - (-2); 0 - 2) = (2; -2) Векторы AD и BC равны, следовательно, AD || BC и AD = BC. 2. Проверим перпендикулярность соседних сторон: Векторы AB = (-3; -3) и AD = (2; -2) перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0. Скалярное произведение: (-3) * 2 + (-3) * (-2) = -6 + 6 = 0. Следовательно, AB и AD перпендикулярны. Так как противоположные стороны параллельны и равны, а соседние стороны перпендикулярны, то ABCD - прямоугольник. Ответ: ABCD - прямоугольник.