№5 Из точки A проведены две касательные к окружности с центром в точке O. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки A до точки O равно 8 (рис. 5).

Пусть из точки A проведены две касательные AB и AC к окружности с центром в точке O. Угол между касательными \(\angle BAC = 60^{\circ}\). AO = 8. Нужно найти радиус окружности. Так как AB и AC – касательные к окружности, то радиусы OB и OC, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным, то есть \(\angle ABO = \angle ACO = 90^{\circ}\). Рассмотрим четырехугольник ABOC. Сумма углов четырехугольника равна 360°. Следовательно, \(\angle BOC = 360^{\circ} - \angle ABO - \angle ACO - \angle BAC = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}\). AO – биссектриса угла BAC, следовательно, \(\angle BAO = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} = 30^{\circ}\). Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO. В нем \(\angle ABO = 90^{\circ}\), \(\angle BAO = 30^{\circ}\), AO = 8 (гипотенуза). Нужно найти OB (радиус окружности). Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Следовательно, \(OB = \frac{1}{2} AO = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4\). Ответ: 4