№3. Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 83°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах (рис. 3).

Пусть дана окружность с центром в точке O, прямая касается окружности в точке K, хорда KM образует с касательной угол 83°. Нужно найти угол OMK. Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то \(\angle OKT = 90^{\circ}\), где T – точка на касательной. Тогда угол между хордой KM и радиусом OK равен \(\angle OKM = 90^{\circ} - 83^{\circ} = 7^{\circ}\). Треугольник OKM – равнобедренный, так как OK = OM = R (радиусы окружности). Следовательно, углы при основании KM равны, то есть \(\angle OMK = \angle OKM = 7^{\circ}\). Ответ: 7°