№4. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC = 75 и BC = 10. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки B к этой окружности (рис. 4).

Пусть дана окружность с центром в точке A, проходящая через точку C. Тогда AC – радиус этой окружности, и AC = 75. Из точки B проведена касательная BD к этой окружности, где D – точка касания. Нужно найти длину отрезка BD. Так как BD – касательная к окружности, то радиус AD, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть \(\angle ADB = 90^{\circ}\). Рассмотрим прямоугольный треугольник ADB. В нем AB – гипотенуза, AD – катет (радиус окружности), BD – катет (касательная, которую нужно найти). По условию, AC = 75 и BC = 10. Тогда AB = AC + BC = 75 + 10 = 85. По теореме Пифагора, \(AB^2 = AD^2 + BD^2\). Выразим \(BD^2\): \(BD^2 = AB^2 - AD^2\). Тогда \(BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{85^2 - 75^2} = \sqrt{7225 - 5625} = \sqrt{1600} = 40\). Ответ: 40