№1. Найти СН; Sin LCAM.

1. Шаг 1: Находим тангенс угла CAM.

В прямоугольном треугольнике ABC, CH - высота, следовательно, треугольник ACH также прямоугольный. Тангенс угла CAM равен отношению противолежащего катета CH к прилежащему AH.

\[tg \angle CAM = \frac{CH}{AH}\]

Чтобы найти CH, рассмотрим треугольник BCH. В нем:

BH = 5

BC = 20

По теореме Пифагора:

\[CH = \sqrt{BC^2 - BH^2} = \sqrt{20^2 - 5^2} = \sqrt{400 - 25} = \sqrt{375} = 5\sqrt{15}\]
2. Шаг 2: Находим AH.

Рассмотрим треугольник ABH. В нем:

AB = \sqrt{AH^2 + BH^2}

AH = \sqrt{AB^2 - BH^2}

Также, из подобия треугольников ABH и CAH следует:

\[\frac{BH}{CH} = \frac{CH}{AH}\]

Тогда:

\[AH = \frac{CH^2}{BH} = \frac{(5\sqrt{15})^2}{5} = \frac{25 \cdot 15}{5} = 5 \cdot 15 = 75\]
3. Шаг 3: Вычисляем CH.

В прямоугольном треугольнике ABC высота CH является средним геометрическим проекций катетов на гипотенузу:

\[CH^2 = AH \cdot BH\] \[CH = \sqrt{AH \cdot BH} = \sqrt{75 \cdot 5} = \sqrt{375} = 5\sqrt{15}\]
4. Шаг 4: Вычисляем синус угла CAM.

В прямоугольном треугольнике ACH, синус угла CAM равен отношению противолежащего катета CH к гипотенузе AC.

\[sin \angle CAM = \frac{CH}{AC}\]

Найдем AC по теореме Пифагора из треугольника ACH:

\[AC = \sqrt{AH^2 + CH^2} = \sqrt{75^2 + (5\sqrt{15})^2} = \sqrt{5625 + 375} = \sqrt{6000} = 10\sqrt{60} = 20\sqrt{15}\]

Тогда:

\[sin \angle CAM = \frac{5\sqrt{15}}{20\sqrt{15}} = \frac{1}{4}\]

Ответ: CH = 5\(\sqrt{15}\), sin \(\angle CAM\) = \(\frac{1}{4}\)