№6. Решите иррациональное уравнение и неравенство (46). a) √16 - x = x - 10 6) √2x + 9<3-x

Решим иррациональные уравнения и неравенства! a) \[\sqrt{16 - x} = x - 10\] Возведем обе части в квадрат: \[16 - x = (x - 10)^2\] \[16 - x = x^2 - 20x + 100\] \[x^2 - 19x + 84 = 0\] D = \((-19)^2 - 4(1)(84) = 361 - 336 = 25\) \[x_1 = \frac{19 + 5}{2} = \frac{24}{2} = 12\] \[x_2 = \frac{19 - 5}{2} = \frac{14}{2} = 7\] Проверим корни, подставив их в исходное уравнение: Если \(x = 12\), то \(\sqrt{16 - 12} = 12 - 10\), \(\sqrt{4} = 2\), \(2 = 2\) - верно. Если \(x = 7\), то \(\sqrt{16 - 7} = 7 - 10\), \(\sqrt{9} = -3\), \(3 = -3\) - неверно. Значит, \(x = 12\) - единственный корень. б) \[\sqrt{2x + 9} < 3 - x\] 1) Область определения: \(2x + 9 \ge 0\), значит, \(x \ge -\frac{9}{2}\) 2) Рассмотрим два случая: а) \(3 - x > 0\), значит, \(x < 3\). Тогда можно возвести обе части в квадрат: \[2x + 9 < (3 - x)^2\] \[2x + 9 < 9 - 6x + x^2\] \[x^2 - 8x > 0\] \[x(x - 8) > 0\] Интервалы: \((-\infty; 0), (0; 8), (8; +\infty)\) 1) \(x = -1 \Rightarrow (-1)(-1 - 8) = (-1)(-9) = 9 > 0\) - подходит. 2) \(x = 1 \Rightarrow (1)(1 - 8) = (1)(-7) = -7 < 0\) - не подходит. 3) \(x = 9 \Rightarrow (9)(9 - 8) = (9)(1) = 9 > 0\) - подходит. Значит, \(x < 0\) или \(x > 8\). Учитывая, что \(x \ge -\frac{9}{2}\) и \(x < 3\), получим \(-\frac{9}{2} \le x < 0\). б) \(3 - x \le 0\), значит, \(x \ge 3\). Но это противоречит условию \(\sqrt{2x + 9} < 3 - x\), так как квадратный корень всегда неотрицателен, а \(3 - x\) отрицателен. Значит, решений нет.

Ответ: a) x = 12, б) -9/2 ≤ x < 0