№5. Сократите дробь, разложив квадратный трёхчлен на множители/решите квадратное неравенство методом параболы, методом интервалов (46). a) 2x²-9x+10 6) x²-x-12 ≥ 0 в) (x-1)(x-2)(x-3) ≤ 0 2x²+x-15 (x+2)(x+1)

Разложим на множители и решим неравенства! a) \[\frac{2x^2 - 9x + 10}{2x^2 + x - 15}\] Найдем корни квадратных трехчленов: 1) \(2x^2 - 9x + 10 = 0\) D = \((-9)^2 - 4(2)(10) = 81 - 80 = 1\) \[x_1 = \frac{9 + 1}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}\] \[x_2 = \frac{9 - 1}{4} = \frac{8}{4} = 2\] Значит, \(2x^2 - 9x + 10 = 2(x - \frac{5}{2})(x - 2) = (2x - 5)(x - 2)\) 2) \(2x^2 + x - 15 = 0\) D = \(1^2 - 4(2)(-15) = 1 + 120 = 121\) \[x_1 = \frac{-1 + 11}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}\] \[x_2 = \frac{-1 - 11}{4} = \frac{-12}{4} = -3\] Значит, \(2x^2 + x - 15 = 2(x - \frac{5}{2})(x + 3) = (2x - 5)(x + 3)\) Тогда дробь равна: \[\frac{(2x - 5)(x - 2)}{(2x - 5)(x + 3)}\] Сократим на \((2x - 5)\), получим: \[\frac{x - 2}{x + 3}\] б) \[x^2 - x - 12 \ge 0\] Найдем корни квадратного трехчлена: \[x^2 - x - 12 = 0\] D = \((-1)^2 - 4(1)(-12) = 1 + 48 = 49\) \[x_1 = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4\] \[x_2 = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3\] Значит, \(x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)\) Неравенство: \((x - 4)(x + 3) \ge 0\) Интервалы: \((-\infty; -3], [-3; 4], [4; +\infty)\) 1) \(x = -4 \Rightarrow (-4 - 4)(-4 + 3) = (-8)(-1) = 8 > 0\) - подходит. 2) \(x = 0 \Rightarrow (0 - 4)(0 + 3) = (-4)(3) = -12 < 0\) - не подходит. 3) \(x = 5 \Rightarrow (5 - 4)(5 + 3) = (1)(8) = 8 > 0\) - подходит. Значит, решение неравенства: \(x \le -3\) или \(x \ge 4\). в) \[\frac{(x - 1)(x - 2)(x - 3)}{(x + 2)(x + 1)} \le 0\] Нули числителя: \(x = 1, 2, 3\) Нули знаменателя: \(x = -2, -1\) Интервалы: \((-\infty; -2), (-2; -1), (-1; 1], [1; 2], [2; 3], [3; +\infty)\) 1) \(x = -3 \Rightarrow \frac{(-3 - 1)(-3 - 2)(-3 - 3)}{(-3 + 2)(-3 + 1)} = \frac{(-4)(-5)(-6)}{(-1)(-2)} = \frac{-120}{2} = -60 < 0\) - подходит. 2) \(x = -1.5 \Rightarrow \frac{(-1.5 - 1)(-1.5 - 2)(-1.5 - 3)}{(-1.5 + 2)(-1.5 + 1)} = \frac{(-2.5)(-3.5)(-4.5)}{(0.5)(-0.5)} = \frac{-39.375}{-0.25} = 157.5 > 0\) - не подходит. 3) \(x = 0 \Rightarrow \frac{(0 - 1)(0 - 2)(0 - 3)}{(0 + 2)(0 + 1)} = \frac{(-1)(-2)(-3)}{(2)(1)} = \frac{-6}{2} = -3 < 0\) - подходит. 4) \(x = 1.5 \Rightarrow \frac{(1.5 - 1)(1.5 - 2)(1.5 - 3)}{(1.5 + 2)(1.5 + 1)} = \frac{(0.5)(-0.5)(-1.5)}{(3.5)(2.5)} = \frac{0.375}{8.75} > 0\) - не подходит. 5) \(x = 2.5 \Rightarrow \frac{(2.5 - 1)(2.5 - 2)(2.5 - 3)}{(2.5 + 2)(2.5 + 1)} = \frac{(1.5)(0.5)(-0.5)}{(4.5)(3.5)} = \frac{-0.375}{15.75} < 0\) - подходит. 6) \(x = 4 \Rightarrow \frac{(4 - 1)(4 - 2)(4 - 3)}{(4 + 2)(4 + 1)} = \frac{(3)(2)(1)}{(6)(5)} = \frac{6}{30} > 0\) - не подходит. Значит, решение неравенства: \(x < -2\) или \(-1 < x \le 1\) или \(2 \le x \le 3\).

Ответ: a) (x - 2)/(x + 3), б) x ≤ -3 или x ≥ 4, в) x < -2 или -1 < x ≤ 1 или 2 ≤ x ≤ 3