№5. Решите неравенства с помощью графика квадратичной функции: a) 2x²-7x-9≥0; б) х²-6x + 9>0; в) 4x²+3x+2<0.

a) Решим неравенство 2x²-7x-9 ≥ 0 с помощью графика квадратичной функции.

1) Найдем корни уравнения 2x²-7x-9 = 0:

$$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121$$

$$x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{121}}{4} = \frac{7 \pm 11}{4}$$

$$x_1 = \frac{7 + 11}{4} = \frac{18}{4} = 4.5, x_2 = \frac{7 - 11}{4} = -1$$

2) График - парабола, ветви направлены вверх. Отметим корни на числовой прямой и определим знаки:

<-----+-----+----->
     -1   4.5
  +    -    +

3) Выберем интервалы, где выражение больше или равно 0:

$$x \in (-\infty, -1] \cup [4.5, +\infty)$$

б) Решим неравенство х²-6x + 9 > 0 с помощью графика квадратичной функции.

1) Найдем корни уравнения х²-6x + 9 = 0:

$$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$$

$$x = \frac{6 \pm 0}{2} = 3$$

2) График - парабола, ветви направлены вверх. Отметим корень на числовой прямой и определим знаки:

<-----+-----+----->
     3
  +    +

3) Выберем интервалы, где выражение больше 0:

$$x \in (-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$$

в) Решим неравенство 4x²+3x+2 < 0 с помощью графика квадратичной функции.

1) Найдем корни уравнения 4x²+3x+2 = 0:

$$D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 9 - 32 = -23$$

Так как дискриминант отрицательный, корней нет.

2) График - парабола, ветви направлены вверх. Так как корней нет, парабола целиком находится выше оси x. Значит, неравенство не имеет решений.

Ответ: a) $$x \in (-\infty, -1] \cup [4.5, +\infty)$$; б) $$x \in (-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$$; в) решений нет