№6. Решите неравенство: а) *=3>0; 6) x²+6x+8<0; B): a) x+7 x2-9 x²-7x+10 ≤0. x+6

a) Решим неравенство $$\frac{x-3}{x+7} > 0$$ методом интервалов.

1) Найдем нули числителя и знаменателя:

$$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$$

$$x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7$$

2) Отметим точки на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

<-----+-----+----->
     -7    3
  +    -    +

3) Выберем интервалы, где выражение больше 0:

$$x \in (-\infty, -7) \cup (3, +\infty)$$

б) Решим неравенство $$\frac{x^2 + 6x + 8}{x^2 - 9} < 0$$ методом интервалов.

1) Найдем нули числителя:

$$x^2 + 6x + 8 = 0$$

$$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$$

$$x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{-6 \pm 2}{2}$$

$$x_1 = \frac{-6 + 2}{2} = -2, x_2 = \frac{-6 - 2}{2} = -4$$

2) Найдем нули знаменателя:

$$x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$$

3) Отметим точки на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

<-----+-----+-----+-----+----->
     -4   -3   -2    3
  +    -    +    -    +

4) Выберем интервалы, где выражение меньше 0:

$$x \in (-4, -3) \cup (-2, 3)$$

в) Решим неравенство $$\frac{x^2 - 7x + 10}{x + 6} ≤ 0$$ методом интервалов.

1) Найдем нули числителя:

$$x^2 - 7x + 10 = 0$$

$$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$$

$$x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2}$$

$$x_1 = \frac{7 + 3}{2} = 5, x_2 = \frac{7 - 3}{2} = 2$$

2) Найдем нули знаменателя:

$$x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6$$

3) Отметим точки на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

<-----+-----+-----+----->
     -6    2    5
  -    +    -    +

4) Выберем интервалы, где выражение меньше или равно 0:

$$x \in (-\infty, -6) \cup [2, 5]$$

Ответ: a) $$x \in (-\infty, -7) \cup (3, +\infty)$$; б) $$x \in (-4, -3) \cup (-2, 3)$$; в) $$x \in (-\infty, -6) \cup [2, 5]$$