№4. Решите неравенство методом интервалов: a) (x+11)(x+3)(x-8) <0; 6) (x-2)(x+2). (4x-20) ≥0; в) (2x - 5)(x²- 8x +7)>0.

a) Решим неравенство (x+11)(x+3)(x-8) < 0 методом интервалов.

1) Найдем корни уравнения (x+11)(x+3)(x-8) = 0:

$$x_1 = -11, x_2 = -3, x_3 = 8$$

2) Отметим корни на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

<-----+-----+-----+----->
     -11  -3   8
  -    +    -    +

3) Выберем интервалы, где выражение меньше 0:

$$x \in (-\infty, -11) \cup (-3, 8)$$

б) Решим неравенство (x-2)(x+2)(4x-20) ≥ 0 методом интервалов.

1) Найдем корни уравнения (x-2)(x+2)(4x-20) = 0:

$$x_1 = 2, x_2 = -2, x_3 = 5$$

2) Отметим корни на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

<-----+-----+-----+----->
     -2   2   5
  -    +    -    +

3) Выберем интервалы, где выражение больше или равно 0:

$$x \in [-2, 2] \cup [5, +\infty)$$

в) Решим неравенство (2x - 5)(x² - 8x + 7) > 0 методом интервалов.

1) Найдем корни уравнения (2x - 5)(x² - 8x + 7) = 0:

$$2x - 5 = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{5}{2} = 2.5$$

$$x^2 - 8x + 7 = 0$$

$$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36$$

$$x_{2,3} = \frac{8 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{8 \pm 6}{2}$$

$$x_2 = \frac{8 + 6}{2} = 7, x_3 = \frac{8 - 6}{2} = 1$$

2) Отметим корни на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

<-----+-----+-----+----->
     1   2.5  7
  -    +    -    +

3) Выберем интервалы, где выражение больше 0:

$$x \in (1, 2.5) \cup (7, +\infty)$$

Ответ: a) $$x \in (-\infty, -11) \cup (-3, 8)$$; б) $$x \in [-2, 2] \cup [5, +\infty)$$; в) $$x \in (1, 2.5) \cup (7, +\infty)$$