№6. Решите неравенство: а) X-3X+6x+80; -7x+100 B) x+7 0; б) x²-9 B) x+6

Решим каждое неравенство:

а) $$ \frac{x-3}{x+7} > 0 $$

1. Найдем нули числителя: x - 3 = 0 => x = 3
2. Найдем нули знаменателя: x + 7 = 0 => x = -7
3. Отметим нули на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

   +      -       +
   <----(-7)----(3)---->
   

4. Выберем интервалы, где функция больше нуля: (-∞; -7) и (3; +∞)

б) $$ \frac{x^2 + 6x + 8}{x^2 - 9} < 0 $$

1. Разложим числитель на множители: x² + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)
2. Разложим знаменатель на множители: x² - 9 = (x - 3)(x + 3)
3. Перепишем неравенство: $$ \frac{(x + 2)(x + 4)}{(x - 3)(x + 3)} < 0 $$
4. Найдем нули числителя: x = -2, x = -4
5. Найдем нули знаменателя: x = 3, x = -3
6. Отметим нули на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

   +   -   +    -    +
   <--(-4)--(-3)--(-2)--(3)-->
   

7. Выберем интервалы, где функция меньше нуля: (-4; -3) и (-2; 3)

в) $$ \frac{x^2 - 7x + 10}{x + 6} ≤ 0 $$

1. Разложим числитель на множители: x² - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5)
2. Перепишем неравенство: $$ \frac{(x - 2)(x - 5)}{x + 6} ≤ 0 $$
3. Найдем нули числителя: x = 2, x = 5
4. Найдем нули знаменателя: x = -6
5. Отметим нули на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

   -    +    -    +
   <--(-6)--(2)--(5)-->
   

6. Выберем интервалы, где функция меньше или равна нулю: (-∞; -6) и [2; 5]

Ответ: а) x ∈ (-∞; -7) ∪ (3; +∞); б) x ∈ (-4; -3) ∪ (-2; 3); в) x ∈ (-∞; -6) ∪ [2; 5]