05. На часах короткая часовая стрелка показывает часы, а длинная часовая стрелка показывает минуты. Определите вид меньшего угла между часовыми стрелками, когда часы показывают: а) 1 час и 9 минут; б) 3 часа и 45 минут; в) 9 часов 0 минут.

Решение:

Для решения будем использовать тот факт, что полный оборот циферблата составляет 360 градусов, и в нём 12 часов. Следовательно, 1 час соответствует \( 360^{\circ} / 12 = 30^{\circ} \), а 1 минута — \( 360^{\circ} / (12 \cdot 60) = 0.5^{\circ} \).

а) 1 час и 9 минут

• Положение часовой стрелки: \( 1 \cdot 30^{\circ} + 9 \cdot 0.5^{\circ} = 30^{\circ} + 4.5^{\circ} = 34.5^{\circ} \).
• Положение минутной стрелки: \( 9 \cdot 6^{\circ} = 54^{\circ} \).
• Угол между стрелками: \( 54^{\circ} - 34.5^{\circ} = 19.5^{\circ} \).

б) 3 часа и 45 минут

• Положение часовой стрелки: \( 3 \cdot 30^{\circ} + 45 \cdot 0.5^{\circ} = 90^{\circ} + 22.5^{\circ} = 112.5^{\circ} \).
• Положение минутной стрелки: \( 45 \cdot 6^{\circ} = 270^{\circ} \).
• Угол между стрелками: \( 270^{\circ} - 112.5^{\circ} = 157.5^{\circ} \).

в) 9 часов 0 минут

• Положение часовой стрелки: \( 9 \cdot 30^{\circ} = 270^{\circ} \).
• Положение минутной стрелки: \( 0 \cdot 6^{\circ} = 0^{\circ} \).
• Угол между стрелками: \( 270^{\circ} - 0^{\circ} = 270^{\circ} \). Это больший угол. Меньший угол равен \( 360^{\circ} - 270^{\circ} = 90^{\circ} \).

Ответ:

• а) 1 час и 9 минут: 19.5°
• б) 3 часа и 45 минут: 157.5°
• в) 9 часов 0 минут: 90°