1.020. Прямые a, b и c, лежащие в одной плоскости, пересекаются в точке O. Докажите, что существует плоскость, не проходящая через точку O, которая пересекает прямые a, b и c.

Обозначим плоскость, содержащую прямые a, b и c, через α. Выберем в α прямую l, которая не проходит через O и не параллельна ни одной из прямых a, b, c. Такая прямая существует: через точку, отличную от O, можно провести множество прямых, и лишь три направления исключаются.

Возьмём точку P вне α и проведём плоскость β через l и P. Плоскости α и β различны, а их пересечение — прямая l. Поскольку l не параллельна ни одной из a, b, c, она пересекает каждую из них. Значит, β также пересекает каждую из прямых a, b и c.

Точка O не лежит на l. Так как α и β пересекаются по l, точка O не может принадлежать β: иначе она принадлежала бы α и β одновременно, а значит, прямой l.

Ответ: плоскость β существует; она не проходит через O и пересекает все три прямые.