1.1. Постройте график функции y = 5|x - 3| - x^2 + 7x - 12. Найдите все значения m, при каждом из которых прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение:

Для решения этой задачи необходимо построить график функции $$y = 5|x - 3| - x^2 + 7x - 12$$.

Рассмотрим два случая для модуля:

• Случай 1: $$x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$$. В этом случае $$|x - 3| = x - 3$$. Функция принимает вид: $$y = 5(x - 3) - x^2 + 7x - 12 = 5x - 15 - x^2 + 7x - 12 = -x^2 + 12x - 27$$.
• Случай 2: $$x - 3 < 0 \implies x < 3$$. В этом случае $$|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$$. Функция принимает вид: $$y = 5(3 - x) - x^2 + 7x - 12 = 15 - 5x - x^2 + 7x - 12 = -x^2 + 2x + 3$$.

Теперь построим график, учитывая эти два случая.

График будет состоять из двух парабол, соединенных в точке $$x=3$$.

Анализ точек пересечения с прямой $$y=m$$:

Прямая $$y=m$$ — это горизонтальная линия. Нам нужно найти такие значения $$m$$, при которых эта линия пересекает график функции ровно в трех точках.

Анализируя форму графика (он будет иметь две вершины, связанные между собой), можно определить, что три точки пересечения возникают, когда горизонтальная линия проходит через:

• Вершину одной из парабол (которая является локальным максимумом или минимумом графика) и пересекает другую часть графика.

Для точного определения значений $$m$$, необходимо найти координаты вершин парабол:

• Парабола $$-x^2 + 12x - 27$$ (при $$x \ge 3$$): Вершина находится при $$x = -\frac{12}{2(-1)} = 6$$. Значение $$y$$ при $$x=6$$: $$y = -(6)^2 + 12(6) - 27 = -36 + 72 - 27 = 9$$. Точка вершины: $$(6, 9)$$.
• Парабола $$-x^2 + 2x + 3$$ (при $$x < 3$$): Вершина находится при $$x = -\frac{2}{2(-1)} = 1$$. Значение $$y$$ при $$x=1$$: $$y = -(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$$. Точка вершины: $$(1, 4)$$.

Проверка точки стыка ($$x=3$$):

• При $$x=3$$ из первой части: $$y = -(3)^2 + 12(3) - 27 = -9 + 36 - 27 = 0$$.
• При $$x=3$$ из второй части: $$y = -(3)^2 + 2(3) + 3 = -9 + 6 + 3 = 0$$. Точка стыка: $$(3, 0)$$.

Теперь определим значения $$m$$ для трех точек пересечения:

График функции имеет локальный максимум в точке $$(6, 9)$$ и локальный минимум в точке $$(1, 4)$$.

Три точки пересечения будут, когда прямая $$y=m$$ проходит через:

• Вершину локального максимума, то есть $$m=9$$.
• Вершину локального минимума, то есть $$m=4$$.

Таким образом, значения $$m$$, при которых прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно три общие точки, это $$m=4$$ и $$m=9$$.

Ответ: $$m=4$$, $$m=9$$.