1.2. Постройте график функции y = 5|x - 2| - x^2 + 5x - 6. Найдите все значения m, при каждом из которых прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение:

Построим график функции $$y = 5|x - 2| - x^2 + 5x - 6$$. Рассмотрим два случая для модуля:

• Случай 1: $$x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$$. Функция: $$y = 5(x - 2) - x^2 + 5x - 6 = 5x - 10 - x^2 + 5x - 6 = -x^2 + 10x - 16$$.
• Случай 2: $$x - 2 < 0 \implies x < 2$$. Функция: $$y = 5(-(x - 2)) - x^2 + 5x - 6 = 5(2 - x) - x^2 + 5x - 6 = 10 - 5x - x^2 + 5x - 6 = -x^2 + 4$$.

Найдем вершины парабол:

• Парабола $$-x^2 + 10x - 16$$ (при $$x \ge 2$$): Вершина при $$x = -\frac{10}{2(-1)} = 5$$. Значение $$y$$: $$y = -(5)^2 + 10(5) - 16 = -25 + 50 - 16 = 9$$. Вершина: $$(5, 9)$$.
• Парабола $$-x^2 + 4$$ (при $$x < 2$$): Вершина при $$x = -\frac{0}{2(-1)} = 0$$. Значение $$y$$: $$y = -(0)^2 + 4 = 4$$. Вершина: $$(0, 4)$$.

Проверим точку стыка ($$x=2$$):

• При $$x=2$$ из первой части: $$y = -(2)^2 + 10(2) - 16 = -4 + 20 - 16 = 0$$.
• При $$x=2$$ из второй части: $$y = -(2)^2 + 4 = -4 + 4 = 0$$. Точка стыка: $$(2, 0)$$.

График функции имеет локальный максимум в точке $$(5, 9)$$ и локальный минимум (вершина параболы $$-x^2 + 4$$) в точке $$(0, 4)$$.

Три точки пересечения с прямой $$y=m$$ возникнут, когда $$y=m$$ пройдет через:

• Вершину локального максимума, то есть $$m=9$$.
• Вершину локального минимума, то есть $$m=4$$.

Ответ: $$m=4$$, $$m=9$$.