3.1. Постройте график функции y = x|x| - |x| - 3x. Найдите все значения m, при каждом из которых прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Рассмотрим функцию $$y = x|x| - |x| - 3x$$. Два случая для модуля:

• Случай 1: $$x \ge 0$$. Функция: $$y = x(x) - (x) - 3x = x^2 - x - 3x = x^2 - 4x$$.
• Случай 2: $$x < 0$$. Функция: $$y = x(-x) - (-x) - 3x = -x^2 + x - 3x = -x^2 - 2x$$.

Найдем вершины парабол:

• Парабола $$x^2 - 4x$$ (при $$x \ge 0$$): Вершина при $$x = -\frac{-4}{2(1)} = 2$$. Значение $$y$$: $$y = (2)^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$$. Вершина: $$(2, -4)$$.
• Парабола $$-x^2 - 2x$$ (при $$x < 0$$): Вершина при $$x = -\frac{-2}{2(-1)} = -1$$. Значение $$y$$: $$y = -(-1)^2 - 2(-1) = -1 + 2 = 1$$. Вершина: $$(-1, 1)$$.

Проверим точку стыка ($$x=0$$):

• При $$x=0$$ из первой части: $$y = (0)^2 - 4(0) = 0$$.
• При $$x=0$$ из второй части: $$y = -(0)^2 - 2(0) = 0$$. Точка стыка: $$(0, 0)$$.

График состоит из двух ветвей парабол. Нас интересуют точки, где горизонтальная линия $$y=m$$ пересекает график ровно в двух точках.

Анализ графика:

• Ветвь при $$x \ge 0$$ ($$y = x^2 - 4x$$) — это часть параболы с минимумом в точке $$(2, -4)$$.
• Ветвь при $$x < 0$$ ($$y = -x^2 - 2x$$) — это часть параболы с максимумом в точке $$(-1, 1)$$.

Чтобы получить две точки пересечения:

• Если $$m$$ находится между локальным минимумом $$(2, -4)$$ и точкой стыка $$(0, 0)$$, то есть $$-4 < m < 0$$, линия $$y=m$$ пересечет первую ветвь в двух точках.
• Если $$m$$ находится между локальным максимумом $$(-1, 1)$$ и точкой стыка $$(0, 0)$$, то есть $$0 < m < 1$$, линия $$y=m$$ пересечет вторую ветвь в двух точках.
• Если $$m = 1$$ (максимум второй ветви), линия $$y=m$$ будет касаться вершины $$(-1, 1)$$ и пересечет первую ветвь в одной точке.
• Если $$m = -4$$ (минимум первой ветви), линия $$y=m$$ будет касаться вершины $$(2, -4)$$ и пересечет вторую ветвь в одной точке.

Таким образом, для двух точек пересечения $$m$$ должно быть в интервалах $$(-4, 0)$$ или $$(0, 1)$$.

Ответ: $$m \in (-4, 0) \cup (0, 1)$$.