2.1. Постройте график функции y = x^2 + 11x - 4|x + 6| + 30. Найдите все значения m, при каждом из которых прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение:

Рассмотрим функцию $$y = x^2 + 11x - 4|x + 6| + 30$$. Два случая для модуля:

• Случай 1: $$x + 6 \ge 0 \implies x \ge -6$$. Функция: $$y = x^2 + 11x - 4(x + 6) + 30 = x^2 + 11x - 4x - 24 + 30 = x^2 + 7x + 6$$.
• Случай 2: $$x + 6 < 0 \implies x < -6$$. Функция: $$y = x^2 + 11x - 4(-(x + 6)) + 30 = x^2 + 11x + 4x + 24 + 30 = x^2 + 15x + 54$$.

Найдем вершины парабол:

• Парабола $$x^2 + 7x + 6$$ (при $$x \ge -6$$): Вершина при $$x = -\frac{7}{2(1)} = -3.5$$. Значение $$y$$: $$y = (-3.5)^2 + 7(-3.5) + 6 = 12.25 - 24.5 + 6 = -6.25$$. Вершина: $$(-3.5, -6.25)$$.
• Парабола $$x^2 + 15x + 54$$ (при $$x < -6$$): Вершина при $$x = -\frac{15}{2(1)} = -7.5$$. Значение $$y$$: $$y = (-7.5)^2 + 15(-7.5) + 54 = 56.25 - 112.5 + 54 = -2.25$$. Вершина: $$(-7.5, -2.25)$$.

Проверим точку стыка ($$x=-6$$):

• При $$x=-6$$ из первой части: $$y = (-6)^2 + 7(-6) + 6 = 36 - 42 + 6 = 0$$.
• При $$x=-6$$ из второй части: $$y = (-6)^2 + 15(-6) + 54 = 36 - 90 + 54 = 0$$. Точка стыка: $$(-6, 0)$$.

График состоит из двух ветвей парабол. Нас интересуют точки, где горизонтальная линия $$y=m$$ пересекает график три раза. Это может произойти, когда линия проходит через:

• Вершину одной из парабол, при условии, что эта вершина является локальным минимумом (так как параболы направлены ветвями вверх) и линия пересекает другую часть графика.

Локальные минимумы:

• Вторая парабола ($$x^2 + 15x + 54$$) имеет вершину $$(-7.5, -2.25)$$, которая является минимальным значением для этой ветви.
• Первая парабола ($$x^2 + 7x + 6$$) имеет вершину $$(-3.5, -6.25)$$, которая является минимальным значением для этой ветви.

Анализ графика:

График имеет два локальных минимума. Для получения трех точек пересечения, линия $$y=m$$ должна проходить через один из локальных минимумов и пересекать другую часть графика. Также, если линия проходит через точку стыка $$(-6, 0)$$ и локальный минимум, может быть три точки.

Для получения ровно трех точек пересечения, прямая $$y=m$$ должна проходить через:

• Локальный минимум второй параболы: $$m = -2.25$$. При этом она будет пересекать первую параболу в двух точках (так как $$-6.25 < -2.25$$).
• Точку стыка $$(-6, 0)$$. В этом случае прямая $$y=0$$ будет пересекать график в точке стыка $$(-6, 0)$$ и в двух точках первой параболы (так как $$-6.25 < 0$$).

Таким образом, $$m=-2.25$$ и $$m=0$$.

Ответ: $$m=-2.25$$, $$m=0$$.